LAPORAN MATEMATIKA DASAR
Penyelesaian SPLDV dan SPLTV
Disusun
Oleh :
Nama :
Grafika Iswartanti (13)
Lulu’ Choerun
Nisa (16)
Nurlatifah (20)
Ririn Dwi Rahayu (25)
Kelas : XII
MIA 4
SMA NEGERI 2 WONOSOBO
Tahun Ajaran 2015/2016
Jln.Banyumas.05 Telp.(0286)322614
Wonosobo-56301
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta
karunianya kepada kami kelompok 4 sehingga kami dapat menyelesaikan tugas
matematika wajib dengan judul
“permasalahan dalam kehidupan sehari hari mengenai SPLDV dan SPLTV yang diselesaikan
dengan menggunakan metode determinan dan invers matriks” tanpa halangan suatu
apapun.
Shalawat serta salam senantiasa senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita
Nabi Agung Muhammad SAW yang kita nantikan syafa’tnya di yaumul kiyamah nanti.
Tujuan
penyusunan laporan ini adalah untuk
memenuhi tugas mata pelajaran
matematika wajib semester 1 tahun ajaran 2016/2017 dan
memperkenalkan kepada pembaca mengenai invers pada matriks.
Kami
sadar akan kekurangan dari laporan
ini untuk itu kami perlu kritik dan saran dari pembaca dan
kami berharap makalah ini bisa bermanfaat bagi kita semua.
|
|
Wonosobo,
10 Agustus 2016
Penyusun
|
DAFTAR ISI
|
Kata Pengantar
|
2
|
|
Daftar Isi
|
3
|
|
BAB.1.
PENDAHULUAN
|
4
|
|
1.1 Latar Belakang
|
4
|
|
1.2 Rumusan Masalah
|
4
|
|
1.3 Tujuan Penulisan
|
5
|
|
BAB.2.
PEMBAHASAN
|
6
|
|
2.1 Pengertian Matriks
|
6
|
|
2.2 Jenis – jenis Matriks
|
6
|
|
2.3 Sifat – sifat Matriks
|
10
|
|
2.4 Rumus Umum Penyelesaian
SPLDV dan SPLTV dengan Metode Invers Matriks
|
10
|
|
2.5 Rumus Umum Penyelesaian
SPLDV dan SPLTV dengan Metode Determinan Matriks
|
11
|
|
2.6 Contoh Soal dan Pembahasan
|
13
|
|
BAB.3.
PENUTUP
|
18
|
|
3.1 Kesimpulan
|
18
|
|
3.2 Saran
|
18
|
|
Daftar Pustaka
|
19
|
BAB.1.
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemukan
persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika.
Dengan mengubahnya kedalam persamaan matematika maka persoalan tersebut akan
lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan seringkali memuat
lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami
kesulitan untuk mencari hubungan antara variabelnya. Bahkan dinegara maju
sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan
dengan puluhan atau ratusan variabelyang nilainya harus ditentukan.Matriks pada
dasarnya merupakan suatu alat yang cukup untuk memecahkan persoalan tersebut.
Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa
yangmencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya
matrik ditemukan untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal
dari semua inilah matrik dianggap sebagai sebuah permainan karena
matrik dapat diaplikasikan, selanjutnya , matrik digunakan sebagai
kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam berbagai bidang seperti
matematika.
1.2
Rumusan Masalah
1) Apa yang dimaksud dengan matriks?
2) Sebutkan jenis-jenis matriks !
3) Sebutkan sifat-sifat matriks !
4) Bagaimana rumus untuk menyelesaikan SPLDV dan SPLTV
dengan metode invers matriks ?
5) Bagaimana rumus untuk menyelesaikan SPLDV dan SPLTV
dengan metode determinan matriks ?
6) Berilah masing-masing
1 contoh soal mengenai SPLDV dan SLTV dalam kehidupan sehari- hari, lalu
selesaikan masalah tersebut dengan metode determinan dan invers matriks!
1.3
Tujuan Penulisan
Tujuan
dalam pembuatan laporan ini adalah sebagai berikut
1)
Untuk mengetahui pengertian dari matriks.
2)
Untuk mengetahui sifat – sifat matriks.
3)
Untuk mengetahui penyelesaian SPLDV dan SPLTV dengan metode invers matriks.
4)
Untuk mengetahui penyelesaian SPLDV dan SPLTV dengan metode determinan matriks.
5)
Untuk memenuhi tugas Matematika Wajib tentang penyelesaian SPLDV dan SPLTV
dengan metode invers matriks.
BAB.1.
PEMBAHASAN
2.1
Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan kumpulan bilangan yang diatur dalam
baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Matriks dicirikan dengan
elemen-elemen penyusun yang diapit oleh tanda kurung siku [ ] atau tanda kurung
biasa ( ). Ukuran sebuah matriks dinyatakan dalam satuan ordo, yaitu banyaknya
baris dan kolom dalam matriks tersebut. Ordo merupakan karakteristik suatu
matriks yang menjadi patokan dalam operasi-operasi antar matriks.
2.2
Jenis – jenis Matriks
Matriks terbagi menjadi beberapa jenis, yaitu matriks persegi, matriks kolom,
matriks baris, matriks transpose, matriks diagonal, matriks segitiga atas dan
bawah, matriks nol, matriks simetri, dan matriks identitas. Berikut ini
penjelasan lengkap tentang jenis-jenis matriks tersebut:
1. Matriks Persegi
Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris
dan banyak kolom yang sama. Secara umum, matriks persegi berordo n x n. Contoh
matriks persegi:
 |
|
Contoh Matriks Persegi
|
2. Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu
kolom. Secara umum, matriks kolom berordo m x 1. Contoh matriks kolom:
 |
|
Contoh Matriks Kolom
|
3. Matriks Baris
Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu
baris. Secara umum, matriks baris berordo 1 x n. Contoh matriks baris:
 |
|
Contoh Matriks Baris
|
4. Matriks Transpose
Matriks transpose Am
x n yang selanjutnya dinotasikan dengan A’ adalah matriks berordo n x m dengan
baris-barisnya adalah kolom-kolom matriks Am
x n. Contoh matriks transpose, misalkan terdapat matriks A:
maka, transpose
matriks A adalah:
5. Matriks Diagonal
Matriks diagonal berasal dari matriks persegi. Matriks
persegi dikatakan sebagai matriks diagonal jika elemen-elemen selain elemen
diagonal utamanya adalah nol. Contoh matriks diagonal:
 |
|
Contoh Matriks Diagonal
|
6. Matriks Segitiga Atas dan Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah dapat
berasal dari matriks persegi. Suatu matriks persegi disebut matriks segitiga
atas jika semua elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Sebaliknya,
jika semua elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol, maka matriks persegi
itu disebut matriks segitiga bawah. Contoh Matriks Segitiga atas dan Matriks
Segitiga Bawah:
Matriks A adalah matriks segitiga atas, sedangkan matriks B adalah
matriks segitiga bawah.
7. Matriks Simetri
Misalkan terdapat matriks A. Matriks A disebut matriks
simetri jika A’ = A atau setiap elemen pada matriks A yang letaknya simetris
terhadap diagonal utama bernilai sama, yaitu aij = aji dengan i tidak sama
dengan j. Contoh matriks simetri, misalkan:
 |
|
Sehingga A adalah matriks simetri
|
8. Matriks Nol
Suatu matriks dikatakan matriks nol jika semua elemen dari
matriks tersebut adalah nol. Contoh matriks nol:
 |
|
Contoh matriks nol
|
9. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen
pada diagonal utamanya adalah 1.Matriks identitas biasanya dinotasikan dengan
I. Contoh matriks indentitas:
 |
|
Contoh matriks indentitas
|
2.1
Sifat – sifat Matriks
2.2
Rumus Umum Penyelesaian SPLDV dan SPLTV dengan
metode Invers Matriks
1)
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Bentuk
umum sistem persamaan linear dua variabel adalah :
ax +
by = p
............................................................................
(1)
cx +
dy = q ............................................................................
(2)
Persamaan
(1) dan (2) di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti di bawah
ini.
Tujuan
penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel adalah menentukan nilai x dan
y yang memenuhi sistem persamaan itu. Oleh karena itu, berdasarkan penyelesaian
matriks bentuk AX = B dapat dirumuskan sebagai berikut.
2)
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Kalian tentu tahu bahwa untuk menyelesaikan sistem
persamaan linear tiga variabel dapat dilakukan dengan beberapa cara, misalnya
eliminasi, substitusi, gabungan antara eliminasi dan substitusi, operasi baris
elementer, serta menggunakan invers matriks. Kalian dapat menggunakan cara-cara
tersebut dengan bebas yang menurut kalian paling efisien dan paling mudah.
Misalkan diberikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
Misalkan diberikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Sistem
persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti
berikut.
Misalkan
A = 
,
X = 
,
dan B = 
,
X = ,
dan B =
Bentuk
di atas dapat kita tuliskan sebagai AX = B.
Penyelesaian sistem persamaan AX = B adalah X = A-1 B. Dalam hal ini,
Penyelesaian sistem persamaan AX = B adalah X = A-1 B. Dalam hal ini,
A-1 = 
Oleh
karena itu, diperoleh :
2.3
Rumus Umum Penyelesaian SPLDV dan SPLTV dengan
metode Determinan Matriks
Sistem persamaan linear yang disusun
dalam bentuk matriks juga dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan
metode determinan. Misalnya, sistem persamaan linear untuk dua variabel dan
tiga variabel adalah sebagai berikut.
i.
ax + by = p
cx +
dy = q
ii.
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y
+ c2z = d2
a3x
+ b3y + c3z = d3
Pada sistem persaman linear dua variabel, bentuk
tersebut dapat diubah ke bentuk matriks berikut.
,
dengan A = 
,
X = 
,
dan B = 
.
D = =
ad – bc (Determinan koefisien x dan y, dengan elemen-elemen matriks A)
=
ad – bc (Determinan koefisien x dan y, dengan elemen-elemen matriks A)
Dx = 
=
pd – bq (Ganti kolom ke-1, dengan elemen-elemen matriks B
=
pd – bq (Ganti kolom ke-1, dengan elemen-elemen matriks B
Dy = 
=
aq – cp (Ganti kolom ke-2, dengan elemen-elemen matriks B.
Nilai x dan y dapat ditentukan dengan rumus berikut.
=
aq – cp (Ganti kolom ke-2, dengan elemen-elemen matriks B.Nilai x dan y dapat ditentukan dengan rumus berikut.
Dengan cara yang sama dapat ditentukan D, Dx,
Dy, dan Dz untuk sistem persamaan linear tiga
variabel sebagai berikut.
2.1
Contoh Soal dan Pembahasan
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Permasalahan :
Adi membeli
baju sebanyak 4 buah lalu dia juga membeli 1 celana dengan harga Rp 360.000 ,
sedangkan Tika juga membeli 2 baju dan 5 celana dengan harga Rp 540.000 .
Berapa harga masing – masing baju dan celana ?
Jawab :
Misal :
-
Baju = x
-
Celana = y
·
4x + y = 360.000
·
2x + 5y = 540.000
# Metode Determinan
# Metode Invers
Jadi harga baju adalah Rp 70.000 dan celana Rp 80.000.
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Permasalahan :
Ani, Ririn, dan Ica pergi bersama – sama ke toko tanaman hias. Ani
membeli 2 bunga mawar, 2 anggrek dan 1 bunga lily, dengan harga Rp 50.000 .
Ririn membeli 3 bunga mawar, 1 anggrek dan 1 bunga lily, dengan harga Rp
40.000. Tidak ketinggalan Ica membeli 1 bunga mawar, 3 anggrek dan 2 bunga lily
seharga Rp 70.000. Tentukan harga untuk membeli 1 bunga mawar, 3 bunga anggrek
dan 2 bunga lily !
Jawab:
Misal :
-
Bunga Mawar = x
-
Bunga Anggrek = y
-
Bunga lily =
z
·
2x + 2y + z = 50.000
·
3x + y + z = 40.000
·
x + 3y + 2z = 70.000
#Metode Determinan
#Metode Invers
Jadi
harga yang dikeluarkan untuk membeli 1
bunga mawar, 3 bunga anggrek dan 2 bunga lily adalah Rp 70.000
BAB.1.
PENUTUP
3.1
Kesimpulan
Penyelesaian
SPLDV dan SPLTV selain dengan menggunakan cara substitusi atau eliminasi, bisa
juga dengan menggunakan cara invers
matriks dan determinan matriks. Matriks itu sendiri merupakan susunan kumpulan bilangan yang diatur dalam baris dan
kolom berbentuk persegi panjang. Selain itu, dapat kita ketahui bahwa matriks
terdiri dari beberapa jenis seperti : Matriks Persegi, Matriks Kolom,
Matriks Baris, Matriks Transpose, Matriks Diagonal, Matriks Segitiga Atas dan
Matriks Segitiga Bawah, Matriks Simetri, Matriks Nol,Matriks identitas.
3.2
Saran
Dalam menyelesaikan SPLDV dan SPLTV, ketika dalam kehidupan
sehari-hari kita menemui kesulitan dalam perhitungan, maka dapat kita kerjakan
dengan cara invers maupun determinan matriks.
DAFTAR PUSTAKA
